Ponencia presentada por D. Fernando Martín Asín y Dª Rosa Chueca Castedo, catedráticos de la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Topográfica de la Universidad Politécnica de Madrid.

       Hemos considerado interesante presentar esta Ponencia, por lo que aporta a recordar las diferencias esenciales en la observación del cielo, desde los dos hemisferios. Los puntos más esenciales de nuestra comunicación, serán las diferencias que observamos en cuanto a las estaciones del año, que estudiaremos más profundamente en el Anexo, las constelaciones, la Luna, los planetas, los cometas y los restantes astros del cielo.

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       En principio vamos a dar, las coordenadas geográficas en que se encuentran nuestras dos Universidades, la de Madrid con

Longitud = 0 h. 14 m. 45 s. (W de Greenwich) y latitud = + 40º 24’

y las correspondientes de Rosario (Argentina):

Longitud = 3 h. 53 m. (W de Greenwich) y latitud = - 34º 36’

Observamos esencialmente en cuanto a las latitudes, que una es positiva y la otra negativa y ambos lugares casi en posiciones simétricas respecto del plano del Ecuador.

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       Quizás las diferencias más esenciales que concurren en ambos hemisferios son las correspondientes a las estaciones del año que sabemos están cambiadas. Cuando nosotros nos encontramos, en el verano de nuestro país, en Argentina se encuentran en invierno y cuando nosotros estamos en primavera, en el otro hemisferio están en el otoño. Esto es lo que hemos aprovechado muchas veces para indicar lo fácil que es cambiar de estación, o sea, pasar de los calores sofocantes de nuestros veranos, a los fríos del invierno, sin mas que tomar un avión y en unas horas, desplazarnos de un país al otro.

       En el Anexo de esta comunicación, explicamos como podemos hacer el cálculo de las duraciones de cada una de las estaciones, y que sirve para volver a incidir en que si nuestro invierno, es la estación mas corta del año, en el otro hemisferio el invierno será la estación más larga.

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       Podríamos seguir por nuestro satélite la Luna. Por supuesto, siempre al explicar el movimiento del satélite, hacemos hincapié en las frases tan sugestivas que empleamos en la Luna como son que “la luna miente”, es decir que cuando la vemos en nuestras latitudes en forma de D (inicial de decrecer), está creciendo y cuando la vemos en forma de C, (inicial de crecer) está decreciendo. En el otro hemisferio, concretamente en Argentina, las cosas son al contrario, es decir, como muchas veces hemos afirmado, en el hemisferio sur la Luna no miente.

       La Luna es el satélite de la Tierra. Es "la eterna compañera del hombre", como tantas veces hemos dicho y ha servido de inspiración constante a los poetas. ¡Hay tanto que hablar de la Luna! Pero no podemos más que citarla.

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       Otro tema es la observación de planetas. De ellos poco vamos a decir, ya que las únicas diferencias que encontraremos, es que en cualquier caso son astros que siempre los veremos (como ocurre con la Luna), cercanos a la Eclíptica. Sabemos que las latitudes eclípticas de todos ellos son pequeñas, a excepción de Mercurio, primer planeta de nuestro Sistema Solar y más aun Plutón, el ultimo planeta. Estos astros, al igual que las estrellas, los veremos recorrer el cielo pero con inclinaciones diferentes respecto del plano del horizonte, según en que hemisferio estemos situados.

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       Otro tema es la búsqueda de cometas o de asteroides. Naturalmente, según la zona del cielo por la que pueda aparecer uno de estos astros, dicho con mas rigor, según sea su declinación, así será más fácil observarlo desde Argentina o desde España. Este tema, lo hemos aprovechado muchas veces en nuestras explicaciones de clase, para decir que para nosotros, los observadores de España, el descubrir por ejemplo cometas, ha de ser difícil, ya que muchas horas antes de ver nosotros una zona del cielo, la están viendo desde otros paises, por ejemplo Japón, debido a la posición que ocupa este país, en la esfera terrestre, o dicho de otra forma, dada la longitud geográfica que tienen sus habitantes.

       Aprovechando ese mismo argumento, podríamos decir que nosotros veremos una cierta zona del cielo, cuatro horas antes, a que la vean, los habitantes de Argentina. Por ello, hemos dicho tantas veces que, debido a que el cielo se mueve en sentido retrógrado, siempre será más fácil que veamos un astro en España antes que en Argentina. Nos gustaría explicar con mas profundidad estos extremos, pero esperamos hacerlo, cuando se acepte nuestra Ponencia y se incluya como una mas para desarrollarla en aquella Universidad. Otro tema, en este aspecto, será la posición que ese astro tenga en el cielo y que haga que se observe mejor desde latitudes negativas a positivas.

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       Hemos dejado para el final, el hablar de las constelaciones y de como algunas que para nosotros (en el hemisferio boreal), son tan difíciles de ver por las declinaciones de sus estrellas, en cambio, en el otro hemisferio son espectaculares. No hace muchos días, una compañera de trabajo, nos hablaba del descubrimiento que había hecho en un viaje a una latitud próxima a la de Rosario, de la constelación de El Escorpión. Nos decía lo asombroso que había sido para ella, descubrir esta constelación en todo su esplendor, cuando para nosotros la vemos con tanta dificultad.

       Y hablando de constelaciones, es obligado hablar de la Cruz del Sur. No hace muchos años, explicaba mi experiencia, en cuanto a esta constelación vivida en un viaje realizado a Brasil. Las dificultades que tuve para encontrarla y la enorme emoción que tuve y sentí cuando me la enseñaron y la pude ver.

       Es sugestivo indicar cómo, desde el hemisferio sur, podemos asombrarnos ante la estrella que sabemos es la más próxima al Sol y a nosotros y me refiero a la a del Centauro, o estrella Rigil Kent que se encuentra a 4,3 años-luz y que ocupa el número 4, entre todas las estrellas del cielo, ordenadas en cuanto a brillo o magnitud.

       También es obligado hablar de tantas constelaciones que están en ese otro hemisferio y que tenemos prohibidas desde nuestras latitudes. Tendremos la oportunidad de hablar a los habitantes de ese maravilloso país que es Argentina, de las constelaciones que para nosotros son circumpolares y son casi prohibidas de observar desde aquellos lugares. Me estoy refiriendo a la Osa Mayor y la Menor, a Casiopea, a la grandiosa Draco (El Dragón) y tantas y tantas otras.

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       Otro tema apasionante es el observar la diferencia que observamos en el cielo, en el movimiento diurno, de estar en un lugar de latitud positiva a negativa. Siempre he creído curioso, el ver como los astros se van moviendo, sin pasar nunca por el cenit, cuando estamos en latitudes boreales y como, en cambio, los astros al moverse en el cielo, van acercándose al polo norte, es decir, atraviesan el plano que denominamos “primer vertical”, pero en la dirección del norte.

       No pretendemos que el lector comprenda estos movimientos, pero siempre hemos sido conscientes de la gran diferencia que hay, de estar en un lugar a estar en otro.

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       Hemos creído interesante incluir algunas matizaciones, sacadas de libros argentinos:

       Cuando define el Punto Vernal dice: o "Equinoccio de Otoño". Nosotros decimos o “Equinoccio de Primavera”.

       Nos produce una cierta curiosidad leer que se habla de hora de verano, desde el 1 de septiembre al 1 de marzo.

       También leemos que se observan las estrellas alfa Cruz y beta Cruz, en máximas digresiones, para determinar la meridiana,

       Como resumen y dado que tenemos tantas cosas bellísimas en el firmamento, siempre sentimos un gran entusiasmo en contagiar la afición que tenemos hacia la observación del cielo. La posición privilegiada que tiene ese país que es Argentina, siempre la hemos envidiado, al permitir disfrutar a sus habitantes de todas las constelaciones, que nos están prohibidas desde España.

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       Vamos a aprovechar esta oportunidad, para hablar algo de las 89 constelaciones en que el cielo está parcelado y que nos ofrecen como un grandioso empedrado con el que es fácil situarnos y situar a los planetas; sabemos que estos astros están cambiando constantemente sus posiciones sobre el fondo de estrellas, según las épocas en que pretendamos observarlos.

       En nuestros veranos y vuestros inviernos, si levantamos nuestras miradas, tenemos casi en nuestro cenit (en nuestras latitudes de España), ese llamado Triángulo del Verano. Aunque estemos en el otoño todavía podemos asombrarnos en él. Está constituido por las tres estrellas: Vega, Deneb y Altair respectivamente de las constelaciones de la Lyra, El Cisne y El Águila. Nos configuran ese grandioso triángulo, con el que siempre animo a buscar la estrella que para mí es la doble más bella del cielo: Albireo.

       En el centro de gravedad del Triángulo del Verano, tenemos esa estrella que es la beta del Cisne. Quizás quien me haya oído alguna vez hablar de esta constelación y en particular de esta estrella recordará una anécdota que me gusta repetir. Recuerdo mis tiempo de universitario, en que tuve la fortuna de tener a un gran profesor, gran amigo de la música que nos hablaba muchas veces de esa obra de Mussorgsky que se titula "Una noche en el Monte Pelado".

       Nos decía que después de los primeros minutos, en que se adivina en una noche una terrible tempestad y tormenta, en un pueblecito de las montañas, acaso de los Alpes y que tiene aterrorizados a sus habitantes, que viven rayos, relámpagos y truenos y todo lo más espantoso que podamos imaginar; al amanecer, ya pasada la tormenta, en esa música tan descriptiva de Mussorgsky, se adivina un paisaje tranquilo, en que de pronto, se oye a lo lejos, el tañido de la campana de una pequeña iglesia y la flauta de un pastor que cuida su rebaño. Nos decía aquel profesor mío, al que recuerdo con cariño, que "sólo por oír la flauta del pastor y el tañido de la campana, ¡Merecía la pena vivir!”

       Yo digo algo parecido cuando hablo de esta estrella que es Albireo del Cisne. Sólo por desdoblar esta estrella, ¡Merece la pena vivir! Muchas veces, he experimentado esa impresión en quien ve esta estrella doble por primera vez. Es un espectáculo delicioso.

       Con un simple telescopio de aficionado, podemos desdoblar esta estrella y lo que era un débil punto de luz de magnitud 3,1 pasa a desdoblarse dentro del campo del anteojo. Yo invitaría a quien lea estas líneas, a que intente hacer esa experiencia.

       Las dos estrellas que forman Albireo, que están situadas a 500 años-luz, se encuentran a 34" de distancia y tienen ambas magnitudes de 3,1 y 5,4.

       Yo suelo añadir que, cuando se desdobla Albireo, podemos ver como dos gotas de rocío, una teñida de rojo y otra teñida de azul, o dicho con más poesía en un rubí y una turquesa.

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       La constelación del Cisne, está atravesada a lo largo de su cuerpo por la Vía Láctea. No es difícil imaginar la silueta de un Cisne, perfilado por las estrellas que configuran la constelación.

       En ella, es obligado hablar de la M 27 del catálogo de Messier, conocida como Dumb-bell, que es el nombre de la más brillante nebulosa planetaria del cielo y también una de las más extensas. Fue descubierta por Carlos Messier en 1764. Nos gustaría seguir hablando de esta constelación, pero preferimos hablar de otras cosas.

       Y también querríamos citar, girando nuestras miradas hacia el cielo del norte, a esa Osa Mayor, y Menor, para que busquemos a la Polar en el extremo de la lanza; además para buscar el Dragón, y Andrómeda y en ella, la M 31 tan asombrosa, y la Corona Boreal y tantas y tantas otras que no citamos.

       Y como estamos hablando de constelaciones, digamos que a estos grupos de estrellas, antiguamente se les llamaban “asterismos” y más tarde se les llamó con ese nombre de “constelaciones” con el que han llegado a nosotros. Desde siempre, han sido comparadas a distintas imágenes de animales, de divinidades, de héroes y de objetos comunes. En muchas, son esos los nombres con los que las conocemos y que muchos fueron dados en la antigüedad por los griegos.

       Ya en su Almagesto, Tolomeo (100-178 de C.), registraba 48 constelaciones. En los siglos siguientes, fueron añadidas algunas otras, 12 en el hemisferio boreal y 50 aproximadamente para el austral, por obra de J.Bayer (1572-1625) y de otros. Después se han seguido añadiendo y hoy se cuentan 89.

       Al norte del Zodíaco, tenemos:

Andrómeda, Aquila (El Aguila), Bootes (el Boyero), Camelapardalis (La Jirafa), Canis Minor (El Can Menor), Cassiopeia (Casiopea), Cepheus (Cefeo), Coma Berenices (La Cabellera de Berenice), Corona Borealis (La Corona Boreal), Cygnus (El Cisne), Delphinus (El Delfin), Draco (El Dragón), Equuleus (El Caballito), Hércules, Lacerta (El Lagarto), Lynix (El Lince), Lyra (La Lira), Pegasus (Pegaso), Perseus (Perseo), Sagitta (La Flecha), Triangulum (Triángulo), Ursa Major (La Osa Mayor), Ursa Minor (La Osa Menor), Vulpecula (La Zorra)

       Las del Zodíaco son las 13 que todos conocemos (luego hablaremos de ellas).

       Y al sur del Zodíaco:

Antlia (La Máquina Neumática), Apus (Ave del Paraíso), Ara (El Altar), Auriga (El Cochero), Caelum (El Buril), Canes Venatici (Los Perros de Caza), Canis Major (El Can Mayor), Carina (La Quilla), Centaurus (El Centauro), Cetus (La Ballena), Chamaeleon (El Camaleón), Circinus (La Brújula), Columba (La Paloma), Corona Australis (La Corona Austral), Corvus (El Cuervo), Cráter (La Copa), Crux (La Cruz del Sur), Dorado (La Dorada), Eridanus (El Erídano), Fornax (El Horno), Grus (La Grulla), Horologium (El Reloj), Hydra (La Serpiente), Hydrus (la Hidra Macho), Indus (El Indio), Leo Minor (El León Menor), Lepus (La Liebre), Lupus (El Lobo), Mensa, (La Mesa), Microscopium (El Microscopio), Monoceros (El Unicornio), Musca, (La Mosca), Norma (La Escuadra), Octans (El Octante), Orión (Orión), Pavo (El Pavo), Phoenix (El Ave Fénix), Pictor (El Pintor), Pisces (Los Peces), Piscis Austrinus (El Pez Austral), Puppis (La Popa), Pyxis (La Brújula), Reticulum (El Retículo), Sculptor (El Escultor), Scutum (El Escudo), Serpens Caputi (La Cabeza de la Serpiente), Serpens Cauda (La Cola de la Serpiente), Sextans (El Sextante), Telescopium (El Telescopio), Triangulum Australe (El Triángulo Austral), Tucana (El Tucán), Vela (La Vela), Volans (El Pez Volador).

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       No querríamos dejar estas palabras, sin haber hablado algo de esa zona del cielo que es el Zodíaco, por la que el Sol camina en ese movimiento aparente alrededor de la Tierra que realiza en un año.

       Son esas 12 constelaciones, que todos aprendimos desde pequeños y que resulta que no son 12 sino 13. Esto, al haberse incluido en esta zona del cielo, a Ophiuchus situado entre el Escorpión y Sagitario.

       Además todas las constelaciones del Zodíaco, sabemos que están cambiadas, por ese fenómeno que los que recordáis vuestros estudios de Astronomía, se denomina “Precesión de los Equinoccios” o “Retrogradación del punto Aries”, descubierto por Hiparco, en el siglo II a. C.

       Por ese fenómeno, todas las constelaciones zodiacales, han cambiado de lugar, respecto a las posiciones que ocupaban hace ahora esos 2.000 años, en que se hicieron corresponder con los 12 meses del año.

       Quizá quienes conocéis algún libro mío, (ahora habla el profesor Martin Asin), en particular el Atlas del Cielo y otro más reciente de título: Todas las constelaciones del Cielo, recordáis que la proyección cartográfica que siempre se aconseja para representar el cielo es la estereográfica, la polar para las zonas próximas a los polos y la meridiana o transversa, para los husos o gajos en que se divide el resto de la esfera celeste.

       Realmente, aunque hemos citado las 88 constelaciones del cielo, yo siempre defiendo que son 89, dado que hay una que es Serpens, que debería contabilizarse como dos.

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       Y querriamos terminar diciendo, sobre todo a los que tengáis fe en las fechas a que nos tienen acostumbrados los periódicos y las revistas, respecto de los horóscopos, que no se parecen en nada respecto de las posiciones rigurosas en que el Sol va entrando y saliendo de cada una de esas constelaciones; dicho con otras palabras, que todos (o casi todos) tenemos el signo cambiado.

       Todo esto, unido a que la primera de las 13 debiera ser Piscis y no Aries, ya que en la actualidad cuando el Sol se encuentra en el Equinoccio de Primavera, la constelación sobre la que se proyecta es Piscis, aunque hace 2.000 años era la de Aries y además la existencia de esa 13ª que es Ophiuchus, situada entre el Escorpión y Sagitario, todos estos hechos hacen que todavía se nos complique más el problema.

ANEXO

CÁLCULO DE LA DURACIÓN DE LAS ESTACIONES

       Hemos creído apropiado, poner el cálculo correspondiente a este año 2.000 ya que sabemos que estas duraciones van lentamente cambiando y así seguirán hasta mas o menos, el año 6.500 en que coincidirán dos a dos las estaciones:

Primavera = Verano e Invierno = Otoño.

       En la actualidad, las estaciones están ordenadas en cuanto a duración, de menor a mayor en la forma:

Invierno < Otoño < Primavera < Verano

       Esta ordenación corresponde a estar situados en el hemisferio boreal. En el austral las cosas serían al revés, ya que sabemos que en ambos están cambiadas:

Verano < Primavera < Otoño < Invierno

       Así pues, veamos como calcular la duración de las cuatro estaciones del año, partiendo de un dato que cada año va cambiando y que es la “longitud eclíptica del Perigeo”, este año 2000, dicho valor es 282º 56’ 18”. Por supuesto, suponemos al lector conocedor de algunos conceptos de Astronomía, que le van a ser necesarios para seguir nuestras explicaciones.

       Empezamos por recordar que junto al Sol Verdadero, que es el único que existe y es el que nos alumbra, se utilizan en Astronomía, otros dos soles el Ficticio y el Medio. El Ficticio es un Sol ideal que se mueve por la Eclíptica, con velocidad uniforme y que coincide con el Verdadero, en el Perigeo y el Apogeo y el Sol Medio es otro Sol, también ideal, que se mueve con velocidad constante por el plano del Ecuador y coincidiendo con el Ficticio en los puntos Aries y Libra.

       La relación de los tres Soles sabemos que la hacemos con ayuda de la Ecuación de Tiempo, que podemos definir como la diferencia de ascensiónes rectas del Sol Verdadero y del Sol Medio.

       Este Sol Medio es el que utilizamos para medir los tiempos en nuestra vida, ya que con ayuda de la hora media, la civil, la oficial y la legal, todas relacionadas con ese periodo de tiempo que llamamos día medio, llegamos a la hora que marcan nuestros relojes. Llamamos día medio, al tiempo que tarda el Sol Medio en pasar dos veces consecutivas por el meridiano de un lugar. Dividiendo ese periodo en 24 horas, tendremos la duración de la hora media y dividida en 60 y en 60 partes, tendremos el minuto y el segundo de Tiempo Medio.

       Cuando estudiamos la “Ecuación de Tiempo”, recordemos que decimos es la resultante de dos funciones que se denominan “Ecuación de Centro” y “Reducción al Ecuador”. (Estudiar estos conceptos en el libro Astronomía de uno de los autores de esta comunicación). La “Ecuación de Centro” va a ser esencial en el tema que nos ocupa, ya que nos va a permitir el cálculo de las estaciones.

       Para ello nos vamos a ayudar de las figuras que acompañamos en que se ven los tres Soles que hemos definido y se ve claramente lo que representa la función Q (“Ecuación de Centro”), que es la diferencia de la longitud eclíptica del Sol Verdadero y la del Sol Ficticio.

       Volvemos a recordar que el Sol Verdadero se mueve con velocidad variable a lo largo de año, ya que respeta las leyes de Kepler y en particular la 2ª ley que relaciona las áreas barridas por el radio vector Tierra-Sol y en cambio el Sol Ficticio, hemos dicho que se mueve por ese mismo plano de la Eclíptica pero con velocidad constante.

       Este Sol Ficticio, recorrerá en un Año Trópico, que sabemos tiene de duración 365, 2422 días medios, un ángulo de 360º. Con más rigor diríamos que recorre algo menos de 360º pues sabemos que el Punto Aries retrograda 50,2” cada año. Ese es el fenómeno que se denomina “Precesión de los Equinoccios” o “Retrogradación del Punto Aries”.

       Con esta ayuda, vamos a calcular la duración de la Primavera que vamos a hacer totalmente desarrollado y aplicando el mismo fundamento, calcularíamos las otras tres estaciones del año.

       En la figura que acompañamos, en que hemos representado el plano de la Eclíptica y el del Ecuador, vemos que el Perigeo de la órbita de la Tierra, se encuentra situado entre el “Trópico de Capricornio” o “Solsticio de Invierno” y el punto Aries, dicho de otra forma podemos decir que hacia el 2 ó el 3 de enero, el Sol se encuentra en ese punto que sabemos es el extremo de la línea de los ápsides y es el momento en que el Sol está mas cerca de la Tierra (estamos hablando del movimiento aparente del Sol alrededor de la Tierra, en lugar del real de la Tierra alrededor del Sol). Todos estos conceptos son iguales, considerando un movimiento o considerando el otro.

       Ese paso del Sol por el Perigeo el 3 de enero, nos plantea una paradoja que, sin duda, sirve para pensar en que cuando más cerca está el Sol de la Tierra, es cuando, (en nuestro hemisferio), estamos en invierno. Claramente veríamos que en tierras argentinas, tal paradoja no se da, pues cuando más cerca se encuentra el Sol de la Tierra y la Tierra del Sol, es cuando están en verano.

       Pues bien, con estos razonamientos que hemos dado, se comprende perfectamente que si representamos el Sol Verdadero y el Sol Ficticio, por las letras V y F, es claro que la diferencia desde el perigeo hasta ambos soles, va a ser lo que hemos denominado Q (“Ecuación de Centro”) y que en el libro anteriormente citado de Astronomía, se deducía que era:

Q = v – nt = 2.e.sen nt + 5/4.e2.sen 2.nt

v y nt se denominan anomalía verdadera y media respectivamente. El valor de nt, representa el movimiento medio diario del Sol, o sea la velocidad angular del Sol Ficticio. El valor de e que aparece en la fórmula, es la excentricidad de la orbita terrestre que vale e = 0,0168.

       Esta expresión que relaciona las anomalías verdadera y media, es la que vamos a utilizar para el cálculo que nos ocupa. En efecto, si despejamos de esta expresión el valor nt, obtendremos

nt = v – 2.e.sen nt – 5/4. e2. sen 2.nt

       Con esta expresión y a base de reiteraciones sucesivas, vamos a calcular el valor de nt, cuando el Sol Verdadero está en Aries y lo mismo cuando está en el Trópico de Cáncer, momentos en que empieza y termina la estación de la Primavera. El cálculo lo vamos a iniciar suponiendo en primera aproximación que nt = v. El valor de v es

360º - 282º 56’ 18” = 77º 03’ 42”

Recordemos que ese valor de 282º 56’ 18” es la longitud del Perigeo.

       Así obtendremos un primer valor de nt, con el que sustituido en la ecuación anterior, volvemos a calcular nt. Así seguiremos hasta encontrar un valor, que no difiera sensiblemente del anterior. Ese valor corresponde a la posición que ocupa el Sol Ficticio cuando comienza la Primavera, nos dice el valor de nt al comenzar esa estación.

       Con ayuda de un calculador, es muy sencillo resolver así el problema, con lo que iríamos obteniendo sucesivamente para el valor x de la figura, los siguientes ángulos:

                                          77º 03’ 42”
                                          75º 11’ 29,81”
                                          75º 12’ 19,47”
                                          75º 12’ 19,08”
                                                        75º 12’ 19,09”

       Cuando el Sol Verdadero haya avanzado otros 90º, terminará la Primavera. Los valores sucesivos que iríamos obteniendo en el mismo proceso seguido anteriormente serían (para el valor que hemos llamado y en la figura):

                                          167º 03’ 42”
                                          166º 38’ 33,82”
                                          166º 37’ 45,80”
                                          166º 37’ 44,28”
                                          166º 37’ 44,23”

       La duración de la Primavera será y – x = 91º 25’ 25,14”

equivalentes a 92 días, 18 horas 12 minutos y 16segundos.

       La transformación de grados a tiempo, la hemos hecho considerando, como hemos dicho anteriormente, que la duración del año es de 365,2422 días, tiempo en que el Sol Ficticio, recorre 360º.

       Con razonamientos análogos a los anteriores, podríamos obtener los valores que representamos en la figura anterior, por m y n, y que nos dan las posiciones del Sol Ficticio al comenzar el otoño y el invierno

                                          m = 258º 55’ 42,53”
                                          n = 347º 29’ 02,31”

       Guiándonos de la figura, sería fácil ver, que las duraciones de las cuatro estaciones serían respectivamente:

Primavera y – x = 91º 25’ 25,14” = 92 días 18 horas 07 minutos y 06 segundos

Verano     m – y = 92º 17’ 58,30” = 93 días 15 horas 26 minutos y 44 segundos

Otoño        n – m = 88º 33’ 19,78” = 89 días 20 horas 16 minutos y 49 segundos

Invierno     p + x = 87º 43’ 16,78” = 88 días 23 horas 58 minutos y 07 segundos

       Podríamos calcular estos tiempos, con los datos de cualquier anuario, en que figuran las fechas de comienzo de las mismas y obtendríamos que concuerdan con las calculadas.

       La suma de los cuatro valores obtenidos para las estaciones, es de 365 días 4 horas, 48 minutos y 46 segundos, que equivalen a los 3654, 2422 días, que es la duración del año trópico. Es curioso ver que la diferencia entre el invierno y el verano, es de casi cuatro días.

       Naturalmente, no es preciso insistir en que estas estaciones, están cambiadas en los lugares del hemisferio Sur y que cuando hablamos de la Primavera de nuestro hemisferio, en aquel otro hemisferio sur, nos referimos al otoño y cuando estamos en nuestro hemisferio en verano, otoño e invierno respectivamente en el otro hemisferio están en invierno, primavera y verano.

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